OPERASI HITUNG
Pengertian Konsep Operasi Hitung Dasar Dalam Matematika
Herman
H (1990:63) menyatakan “konsep adalah suatu ide atau gagasan yang
dibentuk dengan memandang sifat-sifat yang sama dari sekumpulan
eksemplar yang cocok”. Dengan perkataan lain, jika kita dapat menemukan
lebih dari satu fakta dari suatu ide maka kita menyebutnya sebagai suatu
konsep.
Sedangkan Mulyono Abdurrahman
(2008) mengatakan bahwa “konsep menunjuk pada pemahaman dasar. Siswa
mengembangkan suatu konsep ketika mereka mampu mengklasifikasikan atau
mengelompokkan benda-benda atau ketika mereka dapat mengasosiasikan
suatu nama dengan kelompok benda tertentu”. Sebagai contoh anak mengenal
konsep segi empat sebagai suatu bidang yang dikelilingi oleh empat
garis lurus. Pemahaman anak ketika anak menghitung perkalian 4 × 10 =
40, 3 × 10 = 30, dan 12 × 10 = 120, anak memahami konsep perkalian 10,
yaitu bilangan tersebut diikuti dengan 0.
Penanaman
konsep matematika pada anak yang paling mendasar adalah pemahaman
tentang operasi hitung. Untuk mengajarkan konsep operasi hitung pada
anak harus senantiasa memperhatikan tahap perkembangan berpikir anak.
Pada tahap awal konsep operasi hitung yang diajarkan adalah konsep
penjumlahan untuk bilangan natural (asli). Mengingat konsep matematika
sesungguhnya bersifat abstrak, namun tahap berpikir anak untuk usia
Sekolah Menengah Pertama biasanya masih bersifat pra-abstrak, maka guru
atau orang tua harus berupaya untuk mengkonkretkan konsep yang abstrak
tersebut agar anak tidak merasa kesulitan.
Konsep-konsep
Operasi Hitung Dasar adalah konsep yang mendasari operasi hitung dasar
yang meliputi penjumlahan (penambahan), pengurangan, perkalian dan
pembagian (Ruseffendi, dalam Romi, 2010:17). Belajar konsep merupakan
unsur penting dalam belajar di sekolah, khususnya dalam matematika.
Penguasaan terhadap banyak konsep, memungkinkan seseorang dapat
memecahkan masalah dengan lebih baik sebab untuk memecah masalah perlu
aturan-aturan, dan aturan-aturan tersebut didasarkan pada konsep-konsep
yang dimiliki.
Pengetahuan Matematika
Dalam pendidikan matematika terdapat dua macam pengetahuan matematika, yaitu pengetahuan konsep dan pengetahuan prosedur. Pengetauan
konsep adalah pengetahuan yang berisi banyak hubungan atau jaringan
ide. Atau dapat juga diartikan pengetahuan konsep adalah sebuah
kumpulan titik yang menyatu dan hubungan-hubungan diantaranya.
Pengetahuan konsep lebih dari sekedar ide tunggal. Sebagaimana Hibert
dan Carpenter secara ringkas menyatakan, pengetahuan konsep adalah
“pengetahuan yang dipahami.” (Van De Welle, 2006:29)
Pengetahuan
prosedur tentang matematika adalah pengetahuan tentang aturan atau cara
yang digunakan untuk menyelesaikan tugas-tugas matematika. Pengetahuan
prosedur mencakup pengetahuan tentang langkah demi langkah melakukan
tugas seperti 3 + 5, 6-1, 4 x 7, 10 : 2. Sebagai contoh.” Untuk
menjumlahkan dua bilangan dengan tiga digit, pertama tambahkan
bilangan-bilangan pada digit paling kanan. Jika hasilnya 10 atau lebih
letakkan 1 di atas kolom kedua dan tulis digit yang lain dibawah kolom
paling kanan. Lakukan secara serupa untuk dua kolom berikutnya secara
berurutan. Kita dapat menyatakan bahwa seseorang yang dapat
menyelesaikan tugas seperti ini telah mempunyai pengetahuan prosedur
tersebut. Pengetahuan tentang symbol seperti (9-5) x 3 = 12, ≠, ≥, ±,
dan lainnya juga merupakan bagian dari pengetahuan prosedur tentang
matematika.
Pengetahuan
prosedur tentang matematika mempunyai peran yang sangat penting baik
dalam belajar maupun mengerjakan matematika. Prosedur yang berupa
algoritma membantu kita mengerjakan tugas rutin dengan mudah dan dengan
demikian memberi kebebasan kepada otak untuk berkonsentrasi pada
tugas-tugas yang lebih penting. Penggunaan symbol merupakan cara yang
berguna untuk menyampaikan ide-ide matematika kepada orang lain. Namun
keterampilan dalam penggunaan prosedur tidak akan membantu mengembangkan
pengetahuan konsep yang terkait dengan prosedur tersebut. Misalnya,
mengerjakan pembagian panjang yang tidak berakhir tidak akan membantu
anak memahami apa arti pembagian. Kenyataannya, anak-anak yang terampil
denganprosedur tertentu tidak dapat memberikan arti tentang prosedur
tersebut.
Dari
sisi keuntungan belajar matematika, pertanyaan tentang bagaimana
perosedur dan konsep dapat dikaitkan jauh lebih penting dari pada
kegunaan prosedur itu sendiri. Pada umumnya bahwa aturan bersifat
prosedural seharusnya jangan diajarkan tanpa disertai konsep, meskipun
pada kenyataannya sangat sering dilakukan. Prosedur-prosedur tahap dasar
konsep ini hanyalah merupakan aturan tanpa alasan yang akan membawa
kepada kesalahan dan ketidaksukaan terhadap matematika. Semua prosedur
matematika dapat dan harus dikaitkan dengan ide-ide konseptual yang
menjelaskan mengapa prosedur tersebut berlaku.
Operasi Hitung Dasar
Operasi
hitung dasar dalam matematika dapat dibedakan menjadi empat operasi
hitung dasar yaitu: (1) Penjumlahan, yaitu operasi hitung untuk
memperoleh dua bilangan bulat atau lebih; (2) Pengurangan, yaitu operasi
hitung untuk memperoleh selisih dari dua bilangan atau lebih; (3)
Perkalian, yaitu penjumlahan berulang dengan penjumlahan tetap; dan (4)
Pembagian, yaitu pengurangan berulang dengan pengurangan tetap,
selanjutnya bentuk operasi kali yang berulang adalah operasi pangkat.
Sedangkan operasi akar dan operasi logaritma masing-masing sebagai lawan
dari operasi pangkat dan operasi pangkat khusus
Gambar 2.1 Hubungan operasi-operasi hitung (Wahyudin & Sudrajat, 2003 :35)
Setelah
konsep penjumlahan bilangan asli dikuasai anak dengan mantap, kemudian
dilanjutkan dengan penanaman konsep pengurangan. Karena sifat
pengurangan yang berkebalikan dengan operasi penjumlahan, maka syarat
penguasaan operasi penjumlahan menjadi mutlak untuk anak. Sebaiknya
anak-anak yang belum menguasai penjumlahan dengan mantap, perlu mendapat
perhatian khusus dari guru baik dengan cara pembimbingan secara
individual maupun meminta bantuan orang tua.
Operasi
hitung berikutnya adalah perkalian. Perkalian sebagai penjumlahan
berganda, memerlukan tahap berpikir yang lebih kompleks pada diri anak.
Oleh karena itu jika anak tampak belum siap memulai materi perkalian
sebaiknya diingatkan kembali tentang operasi penjumlahan. Setelah
operasi perkalian dapat dikuasai dengan baik, selanjutnya adalah operasi
pembagian.
Menurut Wahyudin & Sudrajat, (2003 :37)
Operasi pembagian merupakan kebalikan dari operasi perkalian. Oleh
karena itu penguasaan operasi perkalian menjadi mutlak agar dapat
menguasai operasi pembagian.
Operasi Penjumlahan (Tambah)
Operasi
penjumlahan (tambah) adalah dasar dari operasi hitung pada sistem
bilangan. Operasi penjumlahan selalu kita gunakan dalam kehidupan
sehari-hari. Pembicaraan sehari-hari kita menggunakan
“penjumlahan” untuk banyak tindakan yang berbeda. Sebagai contoh
“penjumlahan sejumlah telur”. Disini kita butuh membedakan antara cara
mengkombinasikan dua himpunan, dimana kita bisa menyebutnya sebagai kesatuan; dan cara mengkombinasikan dua bilangan, dimana kita boleh menyebutnya sebagai penjumlahan. Jadi
penjumlahan dua bilangan, misalkan 5 dan 7, dapat disamakan dengan
mengambil sembarang himpunan yang jumlahnya adalah 5 dan sembarang
himpunan yang jumlahnya 7. Kesatuan ini digambarkan sebagai satu himpunan dan didapatkan jumlah dari himpunan baru ini.
Sedangkan
menurut Van De Walle (2006:155), jika beberapa bagian dari suatu
himpunan sudah diketahui, penjumlahan digunakan untuk menyebut jumlah
keseluruhan dari bagian-bagian tersebut. Definisi dari penjumlahan yang
cukup sederhana bisa digunakan baik untuk situasi yang memerlukan aksi
(penggabungan dan pemisahan) dan situasi statis yang tidak memerlukan
adanya aksi.
Lambang
“+” adalah lambang untuk operasi penjumlahan atau pertambahan,
sehingga kalimat matematika seperti jumlah delapan dan lima sama dengan
13 ditulis secara symbol atau model matematika adalah “8 + 5 = 13.”
Tanda + mulai dipakai pada abad ke-15 untuk menandai “karung padi-padian
atau gamdum yang melebihi berat yang ditentukan sebelumnya”. (Wahyudin
& Sudrajat, 2003 :36)
Terdapat
beberapa sifat penting dari operasi penjumlahan yang berlaku pada
himpunan bilangan real. Sifat-sifat itu diantaranya sebagai berikut:
1. Himpunan semua bilangan real tertutup operasi penjumlahan, yaitu untuk setiap real a dan b, maka a + b merupakan bilangan real.
2. Operasi penjumlahan bersifat asosiatif, yaitu untuk setiap bilangan real a dan b berlaku :
a + b = b + a
misalnya 2 + 3 = 3 + 2
3. Operasi penjumlahan bersifat asosiatif , yaitu untuk setiap bilangna real a, b, dan c berlaku
a + (b + c) = (a + b) + c
misalnya: 2 + (3 + 4) =(2 + 3) + 4 = 9
4. Operasi penjumlahan pada himpunan semua bilangna real memiliki unsur identitas, yaitu 0, karena untuk setiap bilangan real a berlaku
a + 0 = 0 + a = a
5. Setiap bilangan real a memiliki lawan terhadap operasi penjumlahan, yaitu (-a)
karena a + (-a) = (-a) + a = 0
Operasi Pengurangan
Menurut
Van De Walle (2006:155), jika salah satu bagiannya dan totalnya sudah
diketahui, maka pengurangan akan menghasilkan bagian yang satunya.
Definisi ini sesuai dengan istilah “mengambil” yang sudah terlalu sering
digunakan. Jika Anda memulai dengan total adalah 8, dan menghilangkan
sejumlah 3, dua himpunan yang Anda ketahui adalah 8 dan 3. Ekspresi 8-3
dibaca “delapan minus tiga” akan menghasilkan lima sisanya. Oleh karena
itu delapan minus tiga adalah lima.
Wahyudin (2003:36)
mengatakan bahwa operasi pengurangan adalah lawan (invers) dari operasi
tambah, misalnya “ 6 dikurangi dengan 5” sama artinya dengan “ 6
ditambah dengan lawan 5”, sehingga 6 – 5 = 6 + (-5) = 1
Contoh lain:
1. 8 – 3 = 8 + (-3)
2. – 2 – 7 = -2 + (-7)
Jadi,
untuk tiap bilangan a dan b berlaku a – b = a + (-b) , yaitu mengurangi
dengan sebuah bilangan sama dengan menambahkan dengan lawan dari
bilangan itu
Operasi Perkalian
Perkalian adalah penjumlahan berulang. (Van De Welle, 2003: 35) maksudnya adalah 3 x 5 sama artinya dengan 5 + 5 + 5 atau ditulis 3 x 5 =5 + 5 + 5
Perkalian pada bilangan asli memiliki tiga sifat, yaitu komutatif, asosiatif dan distribusi penjumlahan. Jika a,b,n suatu bilangan maka akan berlaku:
1. a x b =b x a (komutatif)
2. (a x b) x c =a x (b x c) (asosiatif)
3. a x 1 = 1 x a = a (identitas perkalian)
4. n x (a + b) =(n x a) + (n x b) (distribusi penjumlahan)
Operasi Pembagian
Pembagian didefinisikan sebagai berikut: a : b = c artinya adalah ada sekumpulan benda sebanyak a dibagi rata (sama banyak) dalam b kelompok. Maka cara membaginya dilakukan dengan pengambilan berulang sebanyak b sampai
habis dengan setiap kali pengambilan dibagi rata ke semua kelompok.
Banyaknya pengambilan ditunjukkan dengan hasil yang didapat oleh
masing-masing kelompok yaitu c. Hasil bagi (c) adalah banyaknya satuan pengambilan b dalam setiap kali mengambil untuk dibagi rata. Jika banyaknya anggota yang dimuat oleh masing-masing kelompok adalah c, maka banyaknya pengambilan b satuan sampai habis pada kumpulan benda sebanyak a adalah c kali. Mengapa? Sebab untuk setiap kali pengambilan sebanyak b anggota dari kumpulan benda beranggotakan a selalu dibagi rata pada masing-masing kelompok sebanyak b. Sehingga jika hasil pada masing-masing anggota adalah c, maka dapat dipastikan bahwa banyaknya satuan pengambilan b anggota sampai habis dari sekumpulan benda sebanyak a itu adalah c kali.
Dalam
membelajarkan pembagian dasar, peserta didik diberikan pengalaman
membagi, misalnya dengan membagikan sejumlah barang kepada beberapa
temannya. Dengan memberikan pengalaman, peserta didik akan selalu
mengingat konsep pembagian tersebut di kepalanya. Selanjutnya dengan
memberi banyak latihan, peserta didik diajak untuk mengamati hubungan
antara bilangan yang dibagi, pembagi, dan hasil baginya. Setelah
dicermati ternyata bilangan yang dibagi = pembagi x hasil bagi.
Contoh:
1. 36 : 4
= 9 artinya adalah ada 9 kali pengambilan empatan sampai habis pada
bilangan 36, dengan setiap kali pengambilan dibagi rata ke dalam 4
kelompok,
2. 30 : 6
= 5 artinya adalah ada 5 kali pengambilan enaman sampai habis pada
bilangan 30, dengan setiap kali pengambilan dibagi rata ke dalam 6
kelompok, dan lain-lain.
(MATERI PEMBELAJARAN MATEMATIKA), Operasi Hitung Bilangan Bulat
1. Operasi Hitung Bilangan Bulat
a. Penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat
Cara penjumlahan bilangan bulat adalah sebagai berikut :
- Jika kedua bilangan tandanya sama, maka :
a. Tanda hasil penjumlahan sama dengan tanda kedua buah bilangan
b. Hailnya sama dengan penjumlahan kedua bilangan tersebut.
Contoh soal :
1. Hasil dari 15 + 15 = 30
2. Hasil dari -14 + (-20) = - 34
- Jika kedua bilangan tandanya berbeda, maka:
a. Tanda hasil penjumlahan, sama dengan tanda bilangan terbesar dalam penjumlahan tersebut.
b. Hasil sama dengan selisih antara bilangan terbesar dengan bilangan terkecil dalam penjumlahan tersebut
Contoh soal :
1. Hasil dari – 24 + 12 =
Untuk
soal di atas ini silahkan baca kebali keterangan 2(a), bahwa tanda
hasil penjumlahan sama dengan tanda bilangan terbesar dalam penjumlahan
tersebut.
(Bilangan yang terbesar dalam penjumlahan tersebut adalah -24 maka hasilnya pun pasti – /mins).
Kemudian
perhatikan lagi 2(b)-nya. Hasilnya sama dengan selisih antara
penjumlhan dua bilangan tersebut = 24 – 12 = 14. Maka jika digabungkan
dengan 2(a) dan 2(b) hasilnya jadi -12.
2. Hasil dari 85 – (-35) + (-45) =
Untuk
soal seperti di atas, kerjakan terlebihdahulu dari sebelah kiri. Yaitu
85 – (-35) diubah menjadi 85 + 35 = 120 tinggal dikurangi dengan – 45.
Menjadi seperti berikut 120 – 45 = 75
3. Menurut prakiraan cuaca, suhu di Kp. Tarogong adalah 300C, sedangkan suhu di Kp. Cikandang -100C, selisih suhu dari kedua Kampung tersebut adalah….
Untuk menyelesaikan soal di atas maka perlu diuraikan terlebih dahulu konsep penghuitungannya menjadi sebagai berikut :
Selisih suhu = Suhu Kp. Tarogong – Suhu Kp. Cikandang
Selisih suhu = 300C – (-100C)
= 30 + 10
= 400C
b. Perkalian dan pembagian bilangan bulat
Pada dasarnya perkalian bilangan bulat hamper sama dengan perkalian bilangan cacah. Namun pada perkalian bilangan bulat terdapat aturan perkalian tanda dengan tententun :
(+) X (+) = (+)
(+) X (-) = (-)
(-) X (+ = (-)
(-) X (-) = (+)
Dalam operasi pembagian bilangan bulat juga berlaku suatu aturan, sebagai berikut :
(+) : (+) = (+)
(+) : (-) = (-)
(-) : (+) = (-)
(-) : (-) = (+)
c. Operasi hitung campuran pada bilangan bulat
Untuk mengerjakan operasi hitung campuran bilangan bulat, perlu diperhatikan urutan pengerjaannya sebagai berikut :
1. Kerjakan operasi hitung yang terdapat dalam tanda kurung terlebih dahulu.
2. Jika
dalam operasi hitung terdapat operasi penjumlahan dan pengurangan,
kerjakan dulu operasi hitu yang paling depan (sebelah kiri)
3. Jika
dalam perasi hitung campuran terdapat operasi hitung perkalian dan
pembagian, kerjakan dulu operasi hitung yang paling depan (sebelah kiri)
4. Kerjakan perkalian atau pembagian terlebih dahulu sebelum penjumlahan dan pengurangan.
Contoh soal :
1. 34 x (-24) – (-4) = -816 – (-4)
= -816 + 4
= - 812
2. (-75) : (-5) – (-13) = 5 – (-13)
= 5 + 13
= 18
Mhn nantuanya. Berapa hasilx pebjulahan ini: 4! + 4^2!? Tks bantuanx. Ruslan A. Pasri
BalasHapusMhn nantuanya. Berapa hasilx pebjulahan ini: 4! + 4^2!? Tks bantuanx. Ruslan A. Pasri
BalasHapusreferensi bukunya apa min kalau boleh tau hehhehe
BalasHapusKalau 8:2(2+2) = ???
BalasHapus8
Hapus